/CHƯƠNG 02:
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT
Ở chương này những bài toán vận dụng cao sẽ rơi vào các dạng bài Lãi suất, dạng bài tính số chữ số của một số …
CHỦ ĐỀ 1:
TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN
Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu một ứng dụng của Logarit tron việc tính số các chữ số của một số tự nhiên.
Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm thế nào là phần nguyên của một số.
1. Phần nguyên của một số:
Xét số thức A, số nguyên lớn nhất mà không vượt quá A người ta gọi là phần nguyên của A và kí hiệu là [A].
Như vậy dễ thấy
.
2. Công thức tính số các chữ số của một số tự nhiên:
Xét số tự nhiên A hiện thời đang biểu diễn dưới dạng mũ hay một dạng nào đó mà ta không đếm được các chữ số của nó. Gỉ sử A có n chữ số thì ta có công thức sau đây:
.
Trước khi đi vào chứng minh, tôi muốn nhắc lại cho các bạn cách phân tích một số tự nhiên ra dạng tổng lũy thừa của cơ số 10, ví dụ
.
Chứng minh:
Giả sử số tự nhiên A có n chữ số:


Suy ra
và

.
Từ hai điều này ta có:

Giữa
chỉ có duy nhất một số tự nhiên lớn hơn
đó là

Vậy

Sau đây ta cùng sử dụng công thức trên để giải một số bài toán sau:

BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Số nguyên tố dạng
, trong đó p là một số nguyên tố, được gọi là số nguyên tố Mec-xen. Số
được phát hiện năm 1999.Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?
Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần 2.
A.
chữ số. B. 2098961 chữ số.
C. 6972593 chữ số. D. 6972592 chữ số.
Giải:
Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số thì

Ta cần tính
có bao nhiêu chữ số, ta thấy rằng
và
chắc chắn có cùng số chữ số, nó giống như là 213 và 213−1 có cùng 3 chữ số vậy.
Từ lập luậ trên ta đi tính số chữ số của
bằng công thức:
. Áp dụng công thức ta được:

.
Chọn B.
Bài 2: Người ta qui ước
và
là giá trị của
. Trong các lĩnh vực kỹ thuật,
được sử dụng khá nhiều, kể cả máy tính cầm tay hay quang phổ. Hơn nữa, trong toán học người ta sử dụng
để tìm số chữ số của một số nguyên dương nào đó. Ví dụ số A có n chữ số thì khi đó
với
là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng A. Hỏi số
có bao nhiêu chữ số?
A. 9999 chữ số. B. 6666 chữ số. C. 9966 chữ số. D. 6699 chữ số.
Giải:
Áp dụng công thức
để tìm các chữ số của số A.
Ta có:

Vậy B có 6666 chữ số.
Chọn B.

Bài 3: Số nguyên tố dạng
, trong đó p là số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp)
+ Ơ-le phát hiện
năm 1750.
+ Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát hiện
năm 1876
+
được phát hiện năm 1996.
Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗ số có bao nhiêu chữ số?
A.
B.

C.
D.

Giải:
Giả sử số nguyên tố
viết trong hệ thập phân có n chữ số thì
hay
vì
không chứa thừa số nguyên tố 5 nên
).
Suy ra:
hay

Thay
, ta được

Suy ra
.
Vậy số nguyên tố
viết trong hệ thập phân có 10 chữ số.
Làm tương tự ta thấy
có 39 chữ số.số
có 420921 chữ số.
Chọn A.

Bài 4: Số
là một số nguyên tố. Hỏi nếu viết trong hệ thập phân thì số đó có bao nhiêu chữ số?
A. 227831 chữ số. B. 227832 chữ số. C. 227834 chữ số. D. 227835 chữ số.
Giải:
Áp dụng công thức
để tìm các chữ số của số A.


Vậy số p này có 227832 chữ số.chọn B.
Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các công sự tại nhóm nghiên cứ Đại